jueves, 12 de diciembre de 2013

¿Cuánto mide un semitono? (II)

Vamos a seguir con matemáticas y, de los temperamentos vamos a fijarnos en el llamado pitagórico. Pitágoras de Samos fue un filósofo y matemático que nos legó numerosos avances en matemáticas, geometría y música. A él debemos el descubrimiento de las leyes que rigen los intervalos musicales, la relación entre los sonidos de la escala. El temperamento pitagórico se basa en los intervalos de quinta justa y se caracterizan por tener una relación de frecuencias 3:2, dicho de otro modo, dado un par de notas a distancia de quinta justa, la frecuencia de la nota superior es 1,5 veces la frecuencia de la nota inferior.

Como veo que tenéis el ordenador a mano (¿alguien es capaz de leer esto en un smartphone?) podéis ir abriendo la hoja de cálculo, la vamos a necesitar.

En primer lugar vamos a escribir una serie de quintas en una columna de la hoja de cálculo hasta obtener las doce notas de una escala cromática y una más (luego veremos por qué). Empezamos por el mib hasta llegar al re#. Dos columnas más a la derecha, una que llamaremos numerador y otra denominador. En la fila del la escribimos 1 en las celdas de numerador y denominador. Ahora, a partir de la, que va a ser nuestra nota de referencia, vamos a ir aplicando para cada quinta ascendente la relación 3:2. Para cada nota consistirá en multiplicar el numerador de la nota anterior por 3 y el denominador por 2, y así sucesivamente hasta llegar al re#. Para las descendentes hay que hacer la operación inversa, en lugar de aplicar la relación 3:2 aplicamos el inverso, que es 2:3, así, de este modo bajamos hasta el mib multiplicando el numerador de la nota superior por 2 y el denominador por 3 en cada quinta que vayamos bajando. De hacerlo correctamente deberíamos obtener una tabla como la de la Figura 1.
Figura 1
Para el siguiente paso he marcado los saltos de octava con una linea, porque nos va a facilitar la siguiente tarea. Como en el caso del temperamento igual, queremos tener todos los valores dentro de una octava y, dado que nos hemos movido quinta arriba y quinta abajo desde el la, nos hemos cambiado de octava arriba y abajo varias veces. En una columna vamos a marcar la cantidad de octavas (ojo, cada paso por un la es un cambio de octava, no cada paso por el do, ya que hemos tomado como base el la) de distancia a la que está cada nota con relación al la y a su derecha la potencia de 2 que le corresponde (3 octavas = 2^3 = 8). El resultado es el que se ve en la Figura 2. Estas potencias nos van a servir para corregir los saltos de octava. En caso de que hayamos subido de octava multiplicaremos el valor del denominador por la potencia de 2 correspondiente, y en el caso de que hayamos bajado de octava multiplicaremos el numerador. Es sencillo, para subir de octava hay que multiplicar por 2 por cada octava a subir, para bajar hay que dividir, pero para dividir podemos multiplicar en el denominador, que es la operación equivalente.
Figura 2
Hechos los ajustes sobre unas nuevas columnas (que yo he llamado num. ajust. y denom. ajust.) obtenemos los valores que definen cada intervalo y además calcularemos el resultado de esa fracción en una columna  que llamaremos razón, tal como se ve en la Figura 3:

Figura 3
Llegados a este punto desechamos todos los valores intermedios que han servido de cálculo y nos quedamos únicamente con los nombres de las trece notas, num. ajust, denom.ajust. (a los que he reducido el nombre) y la columna razón y ordenamos todo en función de esta última columna, Si lo hemos hecho bien veremos que la columna con los nombres de las notas queda ordenada según una escala cromática que empieza en la y termina en sol#, como se ve en la Figura 4.
Figura 4
Ya podemos obtener la medida del semitono, para ayudarnos ponemos en una columna cada intervalo y en la adyacente el resultado de dividir la razón de la nota superior entre la de la nota inferior: Eso nos da el factor en que varía la frecuencia con cada semitono. ¿Hay algo peculiar en la Figura 5? Se puede ver que hay dos tipos de semitono en este temperamento; el diatónico, el que hay entre dos notas de distinto nombre y que es más corto, más cerrado, y el cromático, el que hay entre dos notas del mismo nombre alterada con un bemol o un sostenido y que es más largo, más abierto. Hay una segunda peculiaridad ya que mib y re# tienen una pequeña diferencia,  no son la misma nota a pesar de que estemos acostumbrados a ello (y por extensión si hubiéramos continuado la serie de quintas pasaría lo mismo entre do#-reb, fa#-solb, etc.).
Figura 5

Aunque ya hemos llegado al punto en el que debería acabar esta entrada, que es establecer el valor del semitono, en realidad a comprender la existencia de dos tipos de semitonos, podemos ir un pasito más allá y ver qué intervalos concretos quedan definidos por estas relaciones.

Figura 6
La anotada como 3ª mayor es en realidad un ditono, más abierto y disonante que la tercera mayor pura (a la que correspondería una relación 5:4).
Y si continuamos la progresión hacia arriba para conseguir un intervalo de quinta a partir de cada una de las doce notas podemos comprobar que todos ellos, salvo uno, cumplen con la relación 3:2 (representada aquí como 1,5) de la que partíamos teóricamente. El último intervalo sol#-mib, en realidad, no es una quinta, sino algo más cercano a una sexta menor que se conoce como la quinta del lobo.
Figura 7

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