jueves, 28 de noviembre de 2013

¿Cuánto mide un semitono? (I)

Hoy dejamos la flauta de pico a un lado y vamos a hacer un poco de matemáticas. Va ser necesario porque en algún momento habrá que tratar algo que tenga que ver con distintos diapasones y conviene tener algún concepto claro.
A lo largo de la historia de la música se han empleado distintos temperamentos según los cuales se afinaban los instrumentos. Si recurrís a la definición de la RAE os vais a quedar como estabais, porque dice, en su séptima acepción:
Mús. Ligera modificación que se hace en los sonidos rigurosamente exactos de ciertos instrumentos al templarlos, para que se puedan acomodar a la práctica del arte.
No aclara mucho, la verdad. Dicho de modo más entendible, el temperamento define la relación que ha de existir entre las frecuencias de distintas notas de la escala. Existen distintos tipos de temperamentos que definen estas relaciones de distintas maneras.
De estos distintos temperamentos vamos a quedarnos, por el momento, con el llamado "temperamento igual", según el cual la relación de frecuencias entre dos sonidos adyacentes en la escala es la misma sean cuales sean estos sonidos. Dicho de otro modo, cualquier semitono ascendente se calcula multiplicando (o dividiendo, si es descendente) la frecuencia de la nota de partida por una cantidad siempre constante. De este modo se obtiene la frecuencia de la nota a distancia de semitono.

¿Cuál es esta constante?

Partamos de dos puntos. El primer punto es que una octava (al menos en la música occidental, porque hay otras subdiviones en otras músicas) se divide en doce intervalos de semitono. El segundo es que dos notas a distancia de octava tienen una relación de frecuencias 2:1, lo que quiere decir que en cada octava se duplica la frecuencia.
Vamos a tomar entonces como unidad de medida la octava. Si tenemos una nota a y una b, esta a la octava superior, la frecuencia de b es dos veces la frecuencia de a. Si tenemos una tercera nota c a la octava de b, la frecuencia de c es dos veces la frecuencia de b y, además, cuatro veces la frecuencia de a. En el caso de las octavas, la cantidad constante por la que hay que multiplicar la frecuencia es 2. Expresando estas relaciones de frecuencias como potencias de 2 tenemos
20=1, 21=2, 22=4, etc. 
donde los exponentes son la distancia en octavas a nuestra nota de partida.
Ahora, esta relación en potencias de 2 también se da entre los semitonos, el caso es razonarla y calcularla.
La serie anterior la podemos reescribir así:
20·1=1, 21·1=2, 22·1=4, etc.

El exponente que indicaba la distancia en octavas desde la nota de partida es ahora un producto en el que el primer factor indica la distancia y el segundo nos dice que se trata de octavas (que dijimos que era nuestra unidad de medida; así que unidad, uno).
Partíamos de un segundo punto que decía que una octava se divide en doce intervalos de semitono. Al igual que podemos expresar en metros las longitudes del orden de centímetros dividiendo la cantidad de centímetros entre cien (1 cm = 0,01 m), y del mismo modo que dibujando a escala reducimos proporcionalmente las dimesiones para que el dibujo entre en el papel, podemos reducir nuestras octavas a distancias de semitonos sencillamente dividiendo entre doce (1 semitono = 1/12 octavas).
Así que, volviendo a nuestros exponentes tenemos
20·1/12=1  21·1/12=1,06  22·1/12=1,12, etc.

Tomemos 21·1/12=1,06. Esa potencia de 2 es la cantidad por la que hay que multiplicar (o dividir según sea ascendente o descendente) la frecuencia de una nota determinada para obtener la frecuencia que se encuentra a distancia de un (el primer factor del exponente) semitono (representado como la fracción 1/12 ya que nuestra unidad de medida era la octava y ésta se compone de doce semitonos).

Así que si queréis conocer de forma bastante aproximada (que no exacta, porque primero la constante está redondeada y, segundo, hemos considerado un temperamento igual) la frecuencia de una nota a partir de otra cuya frecuencia conozcáis, sólo hay que saber cuántos semitonos las separan y multiplicar o dividir la frecuencia conocida tantas veces por 1,06 como semitonos haya de distancia.

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